基本概念：

• 数轴三要素：原点、正方向、单位长度
• 相反数：\(a\) 的相反数是 \(-a\)
• 绝对值：\(|a| = \begin{cases} a & a \geq 0 \\ -a & a < 0 \end{cases}\)

运算规则：

• 加法法则：同号相加取同号，异号相加取大号
• 乘法法则：\( (-a) \times (-b) = ab \)
• 乘方：\( a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n个} \)

基本概念：

• 单项式系数：如 \(3x^2\) 的系数是 3
• 多项式次数：\(2xy^3 - x^2 + 5\) 是四次多项式

运算规则：

• 合并同类项：\(3a + 2a = 5a\)
• 去括号法则：\(a + (b - c) = a + b - c\)
• 整式加减步骤：去括号 → 合并同类项

方程定义：含有未知数的等式，如 \(2x + 5 = 11\)

解方程步骤：

1. 去分母
2. 去括号
3. 移项合并
4. 系数化1

常见类型：

• 和差倍分问题：\(x + (x+5) = 25\)
• 行程问题：\(vt = s\)

基本图形：

• 直线公理：两点确定一条直线
• 线段中点：\(AM = MB = \frac{1}{2}AB\)

角度计算：

• 度分秒换算：\(1^\circ = 60'\), \(1' = 60''\)
• 余角补角：\(\alpha + \beta = 90^\circ\) 互为余角

几何作图：

• 尺规作线段：作等于已知线段
• 角平分线：\(\angle AOC = \angle COB\)

基本概念：

• 对顶角：\(\angle1\) 与 \(\angle3\) 互为对顶角
• 垂线段公理：直线外一点到直线的垂线段最短

平行线判定：

• 同位角相等 \(\Rightarrow\) 两直线平行
• 同旁内角互补 \(\Rightarrow\) 两直线平行

平行线性质：\( \text{若} \ a \parallel b \ \text{则} \ \angle1 = \angle5 \ (\text{同位角相等}) \)

平方根：\(\sqrt{a} \geq 0 \quad (a \geq 0)\)

立方根：\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)

实数运算律：\(a(b + c) = ab + ac\)

坐标表示：\(A(x,y)\) 到x轴距离 \(|y|\)，到y轴距离 \(|x|\)

象限特征：

• 第一象限：\(x>0,y>0\)
• 坐标轴上的点不属于任何象限

一般形式：\( \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} \)

解法：

• 代入消元法
• 加减消元法

应用：鸡兔同笼问题建模

基本性质：\(a > b \Rightarrow a \pm c > b \pm c\)

解集表示：\(x \leq 3\) 在数轴上用实心点表示

不等式组解集：取各不等式解集的公共部分

频数直方图：

• 组距：最大值与最小值的差
• 频数：落在各小组内数据的个数

统计图表：扇形图百分比计算：\( \frac{\text{部分}}{\text{全体}} \times 100\% \)

基本定理：

• 三边关系：任意两边之和 \(>\) 第三边
• 内角和定理：\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\)
• 外角定理：\(\angle ACD = \angle A + \angle B\)

多边形：

• 内角和：\((n-2) \times 180^\circ\)
• 外角和：\(360^\circ\)

判定定理：

• SSS：三边对应相等
• SAS：两边及其夹角对应相等
• ASA：两角及其夹边对应相等
• AAS：两角及其中一角的对边对应相等
• HL：斜边和直角边对应相等（仅限直角三角形）

角平分线定理：\(\text{若}\ OP \text{平分} \angle AOB\ \text{则}\ PC = PD\)

基本性质：

• 对称轴垂直平分对应点连线
• 对应线段相等，对应角相等

特殊图形：

• 等腰三角形性质：
  • 等边对等角：\(AB = AC \Rightarrow \angle B = \angle C\)
  • 三线合一：顶角平分线、底边中线、高线重合
• 等边三角形：每个内角都是 \(60^\circ\)

幂的运算：

• \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
• \((a^m)^n = a^{mn}\)
• \((ab)^n = a^n b^n\)

乘法公式：

• 平方差：\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
• 完全平方：\((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)

因式分解方法：

• 提公因式法：\(ax + ay = a(x + y)\)
• 公式法：\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)

基本性质：\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \times M}{B \times M}\quad (M \neq 0)\)

运算规则：

• 乘法：\(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}\)
• 除法：\(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad}{bc}\)
• 加减：\(\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}\)

分式方程解法：

• 去分母转化为整式方程
• 解方程后必须验根

定义：形如 \(\sqrt{a}\)（\(a \geq 0\)）的代数式

性质：

• \((\sqrt{a})^2 = a\)（\(a \geq 0\)）
• \(\sqrt{a^2} = |a|\)

运算法则：

• 乘法：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（\(a \geq 0,b \geq 0\)）
• 除法：\(\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\)（\(a \geq 0,b > 0\)）

勾股定理：\(a^2 + b^2 = c^2\)

逆定理：若三角形三边满足 \(a^2 + b^2 = c^2\)，则必为直角三角形

性质定理：

• 对边平行且相等：\(AB \parallel DC,\ AD \parallel BC\)
• 对角相等：\(\angle A = \angle C,\ \angle B = \angle D\)
• 对角线互相平分：\(AO = CO,\ BO = DO\)

一般式：\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)）

图象特征：

• 斜率：\(k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
• 截距：\(b\) 表示 \(y\) 轴截距

位置关系：

• 平行：\(k_1 = k_2\) 且 \(b_1 \neq b_2\)
• 垂直：\(k_1 \cdot k_2 = -1\)

加权平均数：\(\bar{x} = \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n w_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^n w_i}\)

方差计算式：\(s^2 = \dfrac{1}{n}\left[\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\right]\)

标准差：\(\sigma = \sqrt{\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}\)

标准形式：\(ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)\)

求根公式：\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

判别式：\(\Delta = b^2 - 4ac\)

• \(\Delta > 0\)：两个不等实根
• \(\Delta = 0\)：两个相等实根
• \(\Delta < 0\)：无实根

韦达定理：\(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a},\quad x_1x_2 = \dfrac{c}{a}\)

一般式：\(y = ax^2 + bx + c\)

顶点式：\(y = a(x-h)^2 + k\)

• 顶点坐标：\((h, k)\)
• 对称轴：\(x = h\)

最值：

• 当\(a > 0\)时，最小值\(y = k\)
• 当\(a < 0\)时，最大值\(y = k\)

旋转性质：

• 对应点到旋转中心距离相等
• 对应点与旋转中心连线所成角等于旋转角

中心对称：

• 关于原点对称：\(P(x,y) \rightarrow P'(-x,-y)\)
• 中心对称图形（如平行四边形）

基本定理：

• 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦
• 圆周角定理：\(\angle ACB = \dfrac{1}{2}\angle AOB\)

切线性质：

• 切线长定理：\(PA = PB\)（P为外点）
• 切线判定：\(\angle OAP = 90^\circ \Rightarrow PA\)是切线

弧长公式：\(l = \dfrac{n\pi R}{180}\)

扇形面积：\(S = \dfrac{n\pi R^2}{360} = \dfrac{1}{2}lR\)

概率公式：\(P(A) = \dfrac{m}{n}\)（m为事件A可能出现的结果数，n为所有可能结果总数）

树状图法：计算多步骤随机事件概率

用频率估计概率：大量重复试验时频率\(\approx\)概率